La Constant de Conway i la desintegració audioactiva

Look and Say Sequence Substrings

La constant de Conway és una constant matemàtica lligada a la tassa de creixement del nombre de xifres d’una successió coneguda com desintegració audioactiva (en anglès audioactive decay) o Look-and-Say (“Mira i digues“). En aquesta successió, cada terme s’obté agrupant les xifres iguals de l’anterior i recitant-les.

Per exemple, si x_0=1 (“un u”), els termes seran:

x_1=11 (“dos uns –> 21”)
x_2=21 (“un dos un u –> 1211”)
x_3=1211 (“un u un dos dos uns –> 111221”)
x_4=111221 (“tres uns dos dosos un u –> 312211”)
x_5=312211 (“un tres un u dos dosos dos uns –> 13112221”)
etc.

El procés és similar a l’empleat en el sistema de compressió Run-length encoding.

Independentment del terme inicial  x_o triat (amb l’única excepció del 22), la successió divergeix i la raó entre el nombre de xifres de x_n i x_{n-1} tendeix a un valor fix que és la constant de Conway, \lambda \approx 1,303577269 . Aquesta constant és un nombre irracional algebraic, i de fet és l’única solució positiva de l’equació polinòmica de grau 71:

 x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+
 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-
 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-
 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-
 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-
 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0

En prendre 22 (“dos dosos”) com a terme inicial, la successió és degenerada perquè tots els termes següents tornaran a ser 22.

Solucions del polinomi de Conway en el pla complex.

«Desintegració audioactiva»

John Conway va qualificar aquesta successió de «desintegració audioactiva» (audioactive decay), un joc de paraules sobre la desintegració radioactiva, posant èmfasi en el comportament dels termes de la successió. Conway va mostrar que, a partir d’un determinat punt, gairebé tots els termes de la successió es poden descompondre en 92 subtermes, als quals els va denominar elements, per analogia amb els elements químics. Aquests elements funcionen com a entitats independents, no interactuen amb els altres dígits del terme i es descomponen en un altre o altres elements en el següent terme de la successió.

Per exemple, l’element més simple, anomenat hidrogen, és la seqüència estable 22.

El manganès, 3113322112,  dóna lloc al 132123222112, que al seu torn es descompon en els elements prometio (132)  i sodi (123222112).

La llista d’elements està confeccionada de manera que, començant per l’últim element, l’urani (3) cadascun dels elements anteriors fa la seva aparició al llarg de successives iteracions fins arribar al primer, l’hidrogen, al cap de 91 iteracions.

Z Element Prové de Es descomposa Desenvolupament Longitut
1 Hidrogen 7 elements: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta 1 element: H (estable) 22 2
2 Heli 1 element: Li 5 elements: Hf, Pa, H, Ca, Li 13112221133211322112211213322112 32
3 Liti 2 elements: He, Be 1 element: He 312211322212221121123222112 27
4 Beril·li 1 element: B 3 elements: Ge, Ca, Li 111312211312113221133211322112211213322112 42
5 Bor 1 element: C 1 element: Be 1321132122211322212221121123222112 34
6 Carboni 1 element: N 1 element: B 3113112211322112211213322112 28
7 Nitrogen 1 element: O 1 element: C 111312212221121123222112 24
8 Oxigen 1 element: F 1 element: N 132112211213322112 18
9 Fluor 1 element: Ne 1 element: O 31121123222112 14
10 Neó 1 element: Na 1 element: F 111213322112 12
11 Sodi 2 elements: Mg, As 1 element: Ne 123222112 9
12 Magnesi 1 element: Al 2 elements: Pm, Na 3113322112 10
13 Alumini 1 element: Si 1 element: Mg 1113222112 10
14 Silici 2 elements: P, Mn 1 element: Al 1322112 7
15 Fòsfor 1 element: S 2 elements: Ho, Si 311311222112 12
16 Sofre 1 element: Cl 1 element: P 1113122112 10
17 Clor 1 element: Ar 1 element: S 132112 6
18 Argó 1 element: K 1 element: Cl 3112 4
19 Potassi 1 element: Ca 1 element: Ar 1112 4
20 Calci 13 elements: He, Be, Sc, Ga (2 vegades), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re 1 element: K 12 2
21 Escandi 1 element: Ti 5 elements: Ho, Pa, H, Ca, Co 3113112221133112 16
22 Titani 1 element: V 1 element: Sc 11131221131112 14
23 Vanadi 1 element: Cr 1 element: Ti 13211312 8
24 Crom 1 element: Mn 1 element: V 31132 5
25 Manganès 1 element: Fe 2 elements: Cr, Si 111311222112 12
26 Ferro 1 element: Co 1 element: Mn 13122112 8
27 Cobalt 5 elements: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd 1 element: Fe 32112 5
28 Níquel 1 element: Cu 2 elements: Zn, Co 11133112 8
29 Coure 1 element: Zn 1 element: Ni 131112 6
30 Zinc 3 elements: Ni, Ga, Sm 1 element: Cu 312 3
31 Gal·li 1 element: Ge 6 elements: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn 13221133122211332 17
32 Germani 3 elements: Be, As, Re 2 elements: Ho, Ga 31131122211311122113222 23
33 Arsènic 1 element: Se 2 elements: Ge, Na 11131221131211322113322112 26
34 Seleni 1 element: Br 1 element: As 13211321222113222112 20
35 Brom 1 element: Kr 1 element: Se 3113112211322112 16
36 Kriptó 1 element: Rb 1 element: Br 11131221222112 14
37 Rubidi 1 element: Sr 1 element: Kr 1321122112 10
38 Estronci 1 element: Y 1 element: Rb 3112112 7
39 Itri 1 element: Zr 2 elements: Sr, U 1112133 7
40 Zirconi 1 element: Nb 4 elements: Y, H, Ca, Tc 12322211331222113112211 23
41 Niobi 1 element: Mo 2 elements: Er, Zr 11131221133221131112211312221 29
42 Molibdè 1 element: Tc 1 element: Nb 13211322211312113211 20
43 Tecneci 2 elements: Zr, Ru 1 element: Mo 311322113212221 15
44 Ruteni 1 element: Rh 3 elements: Eu, Ca, Tc 132211331222113112211 21
45 Rodi 1 element: Pd 2 elements: Ho, Ru 311311222113111221131221 24
46 Pal·ladi 1 element: Ag 1 element: Rh 111312211312113211 18
47 Plata 1 element: Cd 1 element: Pd 132113212221 12
48 Cadmi 1 element: In 1 element: Ag 3113112211 10
49 Indi 1 element: Sn 1 element: Cd 11131221 8
50 Estany 1 element: Sb 1 element: In 13211 5
51 Antimoni 1 element: Te 2 elements: Pm, Sn 3112221 7
52 Teluri 1 element: I 3 elements: Eu, Ca, Sb 1322113312211 13
53 Iode 1 element: Xe 2 elements: Ho, Te 311311222113111221 18
54 Xenó 1 element: Cs 1 element: I 11131221131211 14
55 Cesi 1 element: Ba 1 element: Xe 13211321 8
56 Bari 1 element: La 1 element: Cs 311311 6
57 Lantà 1 element: Ce 1 element: Ba 11131 5
58 Ceri 1 element: Pr 4 elements: La, H, Ca, Co 1321133112 10
59 Praseodimi 1 element: Nd 1 element: Ce 31131112 8
60 Neodimi 1 element: Pm 1 element: Pr 111312 6
61 Prometi 5 elements: Mg, Sb, Sm, Er, Bi 1 element: Nd 132 3
62 Samari 1 element: Eu 3 elements: Pm, Ca, Zn 311332 6
63 Europi 4 elements: Ga, Ru, Te, Gd 1 element: Sm 1113222 7
64 Gadolini 1 element: Tb 3 elements: Eu, Ca, Co 13221133112 11
65 Terbi 1 element: Dy 2 elements: Ho, Gd 3113112221131112 16
66 Disprosi 1 element: Ho 1 element: Tb 111312211312 12
67 Holmi 8 elements: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn 1 element: Dy 1321132 7
68 Erbi 2 elements: Nb, Tm 2 elements: Ho, Pm 311311222 9
69 Tuli 1 element: Yb 3 elements: Er, Ca, Co 11131221133112 14
70 Ytterbi 1 element: Lu 1 element: Tm 1321131112 10
71 Luteci 1 element: Hf 1 element: Yb 311312 6
72 Hafni 2 elements: He, Ta 1 element: Lu 11132 5
73 Tàntal 1 element: W 5 elements: Hf, Pa, H, Ca, W 13112221133211322112211213322113 32
74 Wolframi 2 elements: Ta, Re 1 element: Ta 312211322212221121123222113 27
75 Reni 1 element: Os 3 elements: Ge, Ca, W 111312211312113221133211322112211213322113 42
76 Osmi 1 element: Ir 1 element: Re 1321132122211322212221121123222113 34
77 Iridi 1 element: Pt 1 element: Os 3113112211322112211213322113 28
78 Platí 1 element: Au 1 element: Ir 111312212221121123222113 24
79 Or 1 element: Hg 1 element: Pt 132112211213322113 18
80 Mercuri 1 element: Tl 1 element: Au 31121123222113 14
81 Tali 1 element: Pb 1 element: Hg 111213322113 12
82 Plom 1 element: Bi 1 element: Tl 123222113 9
83 Bismut 1 element: Po 2 elements: Pm, Pb 3113322113 10
84 Poloni 1 element: At 1 element: Bi 1113222113 10
85 Àstat 1 element: Rn 1 element: Po 1322113 7
86 Radó 1 element: Fr 2 elements: Ho, At 311311222113 12
87 Franci 1 element: Ra 1 element: Rn 1113122113 10
88 Radi 1 element: Ac 1 element: Fr 132113 6
89 Actini 2 elements: Ga, Th 1 element: Ra 3113 4
90 Tori 1 element: Pa 1 element: Ac 1113 4
91 Protactini 4 elements: He, Sc, Ta, U 1 element: Th 13 2
92 Urani 1 element: Y 1 element: Pa 3 1

%d bloggers like this: